高数教育（高数一）

模拟试卷（一）

一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

  *1. 当 时， 与 比较是（    ）

    A. 是较 高阶的无穷小量

    B. 是较 低阶的无穷小量

    C. 与 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量

    D. 与 是等价无穷小量

    解析：

    故选C。

  *2. 设函数 ，则 等于（    ）

    A.             B.                      C.            D.

    解析：

    选C

  3. 设 ，则向量 在向量 上的投影为（    ）

    A.          B. 1        C.          D.

  *4. 设 是二阶线性常系数微分方程 的两个特解，则 （    ）

    A. 是所给方程的解，但不是通解

    B. 是所给方程的解，但不一定是通解

    C. 是所给方程的通解

    D. 不是所给方程的通解

    解：当 线性无关时， 是方程 的通解；当 线性相关时，不是通解，故应选B。

  *5. 设幂级数 在 处收敛，则该级数在 处必定（    ）

    A. 发散                B. 条件收敛

    C. 绝对收敛         D. 敛散性不能确定

    解： 在 处收敛，故幂级数的收敛半径 ，收敛区间 ，而 ，故 在 处绝对收敛。

    故应选C。

二. 填空题：本大题共10个小题，10个空。每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。

  6. 设 ，则 _________。

  7. ，则 __________。

  8. 函数 在区间 上的最小值是__________。

  9. 设 ，则 __________。

  *10. 定积分 __________。

    解：

  *11. 广义积分 __________。

    解：

  *12. 设 ，则 __________。

  13. 微分方程 的通解为__________。

  *14. 幂级数 的收敛半径为__________。

    解：

    ，所以收敛半径为

  15. 设区域D由y轴， ， 所围成，则 __________。

三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分。解答时要求写出推理，演算步骤。

  16. 求极限 。

  *17. 设 ，试确定k的值使 在点 处连续。

    解：

    要使 在 处连续，应有

  18. 设 ，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。

  19. 设 是 的原函数，求 。

  20. 设 ，求 。

  *21. 已知平面 ， 。

    求过点 且与平面 都垂直的平面的方程。

    的法向量为 ， 的法向量

    所求平面 与 都垂直，故 的法向量为

    所求平面又过点 ，故其方程为：

即：

  22. 判定级数 的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

  *23. 求微分方程 满足初始条件 的特解。

    由 ，故所求特解为

  *24. 求 ，其中区域D是由曲线 及 所围成。

    因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故

  *25. 求微分方程 的通解。

    解：特征方程：

    故对应的齐次方程 的通解为     （1）

    因 是特征值，故可设特解为

    代入原方程并整理得：

    故所求通解为：

  26. 求函数 的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。

  *27. 将函数 展开成x的幂级数。

  *28. 求函数 的极值点与极植。

    解：令

    解得唯一的驻点（2，-2）

    由 且 ，知（2，-2）是 的极大值点

    极大值为

【试题答案】

一.

  1.

    故选C。

  2.

    选C

  3. 解： 上的投影为：

    应选B

  4. 解：当 线性无关时， 是方程 的通解；当 线性相关时，不是通解，故应选B。

  5. 解： 在 处收敛，故幂级数的收敛半径 ，收敛区间 ，而 ，故 在 处绝对收敛。

    故应选C。

二.

  6. 解：

    令 得：

  7. 由

  8. 解： ，故y在[1，5]上严格单调递增，于是最小值是 。

  9. 解：

  10. 解：

  11. 解：

  12.

  13. 解：特征方程为：

    通解为

  14. 解：

    ，所以收敛半径为

  15. 解：

三.

  16. 解：

  17. 解：

    要使 在 处连续，应有

  18. 解： ，切线的斜率为

    切线方程为： ，即

  19. 是 的原函数

  20. 解：

  21. 的法向量为 ， 的法向量

    所求平面 与 都垂直，故 的法向量为

    所求平面又过点 ，故其方程为：

即：

  22. 解： 满足（i） ，（ii）

    由莱布尼兹判别法知级数收敛

    又因 ，令 ，则

    与 同时发散。

    故原级数条件收敛。

  23.

    由 ，故所求特解为

  24. 因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故

  25. 解：特征方程：

    故对应的齐次方程 的通解为     （1）

    因 是特征值，故可设特解为

    代入原方程并整理得：

    故所求通解为：

  26. ，令 得驻点 ，又

    故 是 的极小值点，极小值为：

    因 ，曲线是上凹的

  27.

  28. 解：令

    解得唯一的驻点（2，-2）

    由 且 ，知（2，-2）是 的极大值点

    极大值为